Konštrukčné úlohy v planimetrii

• pondelok 8:10, M-VII

Oznamy

• 23.9: Na najbližšiu hodinu si dve študentky (dohodnuté dnes na hodine) pripravia vzorové riešenia príkladov zo sady "Osová súmernosť". Príklady 1, 2, 3a, 10, 12 sme už robili na hodine. Potešíme sa príkladom 6 a 13, ale pokiaľ Vám nevyhovujú, vyberte si iné. 3b, 16a, 16b sú tri samostatné príklady.
• 29.9: Stále sme v sérii "Osová súmernosť". Na hodine ste predviedli riešenia príkladov 13 a 6. Spoločne sme vyriešili príklad 15 a začali sme príklad č.33 (Fagnanov problém).
  Ukázali sme si existenciu stredu vpísanej kružnice, t.j. že osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, a tiež, že osi strán trojuholnika sa pretínaju v jednom bode.
  Nabudúce znovu skúsite predviesť ďalšie riešenia z tejto série. Pekné a poučné sú napríklad č.4, 18, 25, 26 (ten riešte s predpokladom, že 25 je už zriešený), 27, ale môžte si vybrať aj iný z tejto sady, ak Vám žiadny z týchto nevyhovuje. Tiež dokončenie príkladu 33, ak sa niekomu podarí, sa počíta ako celý príklad.
  (Dve študentky sa prihlásili, že si nabudúce pripravia riešenia, no ak by sa niekomu páčil a podaril vyriešiť ďalší z navrhnutých príkladov, tiež môže predviesť a zarátať si tak bod. Je Vás celkom dosť, tak aby ste sa stihli prestriedať pri tabuli.)
• 7.10: Predviedli ste riešenie príkladu č.18, popritom sme sa naučili zostrojiť z daného bodu dotyčnicu k danej kružnici a tiež spoločnú dotyčnicu dvoch kružníc.
  Vyriešili sme aj príklady 25 a 26. Zdôvodnili existenciu ortocentra trojuholníka a naučili sa niečo o tetivovom štvoruholníku.
  Na ďalšiu hodinu ostali z odporúčaných z tejto sady ešte č.4 (už rezervovaný), 27 a 33, no môžte si zvoliť aj iný, ak Vás osloví. Tiež môžte pozrieť aj na sériu "Posunutie", tam by sme začali príkladmi 1 a 3.
• 14.10: Úspešne ste vyriešili príklady č. 31 a 7 zo sady "Osová súmernosť". Začali sme sériu "Posunutie", spoločne sme vyriešili príklady 1 a 3.
  Dokázali sme Tálesovu vetu a vetu o stredovom a obvodovom uhle.
  Pre Vás nabudúce stále ostávajú zo sady "Osová súmernosť" nevyriešené zaujímavé príklady 4, 27 a 33. Prípadne sa pozrite aj v sade "Posunutie" na príklady č.5,6,7, 10 (tam stačí jedno zo zadaní (a), (b)).
• 21.10: Zo sady "Posunutie" ste predviedli riešenia príkladov č. 12, 11 a 5. Potom sme ešte stihli príklad č. 6 a začali sme č. 7. Popritom sme si vysvetlili konštrukciu kružnicového oblúka zodpovedajúceho danému obvodovému uhlu (t.j. množiny bodov, z ktorých vidieť danú úsečku pod daným uhlom)
  Pre úlohu na budúci týždeň sú z tejto sady ešte odporúčanými príkladmi č. 7 a 10(a). Prípadne si môžte pozrieť príklady už aj zo série "Otočenie", pekné sú napríklad č. 2, 3, 4(a), 8 a 11 (pomerne náročný, v podstate dokazovací).
• 28.10: Predviedli ste riešenie príkladu 4 zo série "Osová súmernosť" a príkladu 15 so série "Posunutie". Spolu sme potom riešili zo sady "Otočenie" príklady č. 2, 3, 4(a) a 8. Kto si pripraví príklad nabudúce, odporúčam z tejto sady ešte č. 9, 11 (krásny, no pomerne náročný dokazovací) a 13 (sympatický, dokazovací, podľa mňa otočenie nevyužíva, skôr iné izometrie).
• 4.11: Zo série "Posunutie" ste vyriešili príklady 17(a) a so série "Otočenie" príklady 5, 7 a 10. V závere hodiny sme prešli k sade "Stredová súmernosť" a vyriešili sme odtiaľ príklady 1 a 3.
  Na úlohu sú stále aktuálne aj zadania 9, 11 a 13 z časti "Otočenie", alebo pozrite už aj príklady k stredovej súmernosti: medzi nimi sú pekné č. 10, 12(a), 14 a na seba nadväzujúce 6, 7 a 8.
• 11.11: Zo série "Stredová súmernosť" ste predviedli riešenie príkladu č.14.
  Ukázali sme, že ťažnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode (ťažisku) a sú týmto priesečníkom rozdelené v pomere 1:2.
  Spoločne sme zo sady "Stredová súmernosť" ešte vyriešili príklady č.10, 4, 6 a 7.
  Spomínala som, že na úlohu si pripravte niečo z doterajších sérií, ale mnohé zo stredovej súmernosti sme už vlastne vyriešili, takže ak chcete, kľudne siahnite aj po sérii "Tálesova veta, stredový a obvodový uhol". Ak sa niekomu podarí príklad č.10 z dneška s využitím stredovej súmernosti (na hodine sa využila mocnosť bodu ku kružnici), tiež sa zaráta ako samostatne zriešený príklad.
• 18.11: K stredovej súmernosti sme videli riešenia príkladov 12(b) (od Vás) a 8 (spoločne). Vyriešili ste aj dôkazové príklady č.6 a 3 zo sady "Tálesova veta". Vrátili sme sa ešte k príkladu č.4 z "Posunutia" a vyriešili sme aj nejaké jeho modifikácie.
  Kto si bude chystať niečo na budúcu hodinu, tak okrem doteraz prejdených sérií sa môžte pozrieť aj na sadu "Rovnoľahlosť".
• 25.11: Ukázali ste riešenia príkladov 10 a 9 zo sady "Rovnoľalosť". Potom sme sa vrátili k Fagnanovmu problému (č.33 z osovej súmernosti), k tomu si ukázali ďalšiu vlastnosť ortického trojuholníka a spomenuli sme si ortogonálnu štvoricu bodov. Na záver sme sa vrátili k rovnoľahlosti a vyriešili príklad č.1.
• 2.12: Zo sady "Rovnoľahlosť" ste predviedli príklady č.11(a,b), 15(a) a 16 (kružnica deviatich bodov, Feuerbachova kružnica). Spolu sme ešte urobili príklad č.14 (Eulerova priamka) a zbežne č.6 (Apollóniova úloha priamka-priamka-bod).
• 9.12: Predviedli ste riešenie príkladu 11(c) zo sady "Rovnoľahlosť" a príkladu 1 zo sady "Podobnosť".
  Spolu sme ešte z časti rovnoľahlosť vyriešili príklady 7 a 4.
  Ukázali sme si ďalšiu medódu zostrojenia spoločnej dotyčnice dvoch kružníc.

Obsah predmetu a materiály

Hlavnou témou predmetu sú zhodnosti a podobnosti roviny. Tieto zobrazenia budeme využívať pri riešení najmä konštrukčných úloh:

• zadania príkladov

Popritom si pripomenieme a naučíme sa využivať niektoré objekty a tvrdenia v planimetrii, ktoré už poznáte (Tálesova kružnica, veta o stredovom a obvodovom uhle, tetivový štvoruholník, existencia ortocentra, existencia ťažiska).

Podľa časových možností a vášho záujmu si upevníme vedomosti o trojuholníku a zoznámime sa s ďalšími zaujímavosťami geometrie trojuholníka (Eulerova priamka, Feuerbachova kružnica, Morleyova veta).

Hodnotenie

Pre absolvovanie kurzu sa vyžaduje aktívna účasť na hodinách. Povolené sú tri absencie.

Potrebné sú minimálne dve vystúpenia pri tabuli s vopred (doma) pripraveným materiálom.

Odporúčané čítanie

• G Polya: How to Solve It, Princeton University Press, 1945 (dostupné aj po česky s názvom Jak to řešit?)